La matematica e la geometria per me: 2008

Euclide e la geometria

Euclide di Alessandria (Ευκλείδης) è un matematico greco, che visse molto probabilmente durante il regno di Tolomeo I (367 a.C. ca. - 283 a.C.). Euclide è noto soprattutto come autore degli "Elementi", la più importante opera di geometria dell'antichità; tuttavia di lui si sa pochissimo. Euclide è menzionato in un brano di Pappo, ma la testimonianza più importante su cui si basa la storiografia che lo riguarda viene da Proclo, che lo colloca tra i più giovani discepoli di Platone:
« Non molto più giovane di loro Ermotico di Colofone e Filippo di Medma è Euclide; egli raccolse gli "Elementi", ne ordinò in sistema molti di Eudosso, ne perfezionò molti di Teeteto, e ridusse a dimostrazioni inconfutabili quelli che suoi predecessori avevano poco rigorosamente dimostrato. Visse al tempo del primo Tolomeo, perché Archimede, che visse subito dopo Tolomeo primo, cita Euclide; e anche si racconta che Tolomeo gli chiese una volta se non ci fosse una via più breve degli Elementi per apprendere la geometria; ed egli rispose che per la geometria. non esistevano vie fatte per i re. Euclide era dunque più giovane dei discepoli di Platone, ma più anziano di Eratostene e di Archimede che erano fra loro contemporanei, come afferma in qualche luogo Eratostene. Per le idee Euclide era platonico e aveva molto familiare questa filosofia, tanto che si propose come scopo finale di tutta la raccolta degli Elementi la costruzione delle figure chiamate platoniche »
(Proclo, Comm. Eucl., II, 68)

Particolarmente significativa è la circostanza che lo accosta a Tolomeo I, perché ci induce a collocarne l'attività principale all'inizio del III sec. A.C. e ci fa supporre che Tolomeo lo abbia chiamato ad operare nella Biblioteca di Alessandria e nell'annesso Museo (V. Museo di Alessandria).
Controversa è invece la notizia secondo cui sarebbe stato un platonico convinto. Oggi prevale anzi la tendenza a considerare questo giudizio come privo di fondamento (Heat (1956), Enriques, Neugebauer, Russo (1997)(1998), Migliorato-Gentile, Migliorato) e dettato verosimilmente dal desiderio di Proclo di annettere il più grande matematico dell'antichità alla schiera dei neoplatonici a cui lo stesso Proclo apparteneva.
La scarsità delle informazioni sulla vita di Euclide fece nascere diverse tradizioni più o meno leggendarie sulla sua identità. In particolare da fonti arabe derivò una credenza che lo voleva nato a Tyro. Nel Medioevo, e fino al Rinascimento, fu invece confuso con Euclide di Megara, un matematico vissuto molto tempo prima e di cui si ha notizia perché menzionato da Platone come seguace di Socrate. È per ciò che in diverse edizioni degli Elementi pubblicate in età rinascimentale l’autore viene indicato come "Euclides Megarensis", con l’aggiunta talvolta di una qualificazione di filosofo socratico. Un esempio è quello dicui si riporta qui il frontespizio (dalla Collection of Historical Sources on Mathematics del European Cultural Heritage Online).In tempi più recenti fu messa perfino in dubbio l’effettiva esistenza di un’unica persona di nome Euclide che abbia scritto tutte le opere a lui attribuite. In particolare, le ipotesi formulate si possono così riassumere:
1. Euclide fu un personaggio storico che scrisse gli Elementi e le altre opere a lui attribuite.
2. Euclide fu il capo di un’equipe di matematici che lavoravano ad Alessandria. Tutti contribuirono a scrivere le ‘Opere Complete di Euclide', continuando a scrivere opere a suo nome anche dopo la sua morte.
3. Euclide non fu un personaggio storico. Le ‘Opere Complete di Euclide’ furono scritte da un’equipe di matematici che lavoravano ad Alessandria assumendo come pseudonimo il nome di Euclide di Megara, vissuto un secolo prima.
A sostegno invece della effettiva esistenza di Euclide vi è una lunga tradizione mai messa in dubbio in oltre venti secoli, oltre alle citazioni da parte di autori a lui vicini (Archimede, Erone di Alessandria, ed altri) e circostanze abbastanza attendibili come quella che Apollonio "…trascorse molto tempo ad alessandria con i seguaci di Euclide". In ogni caso, data l’impossibilità di provare la fondatezza di un’ipotesi piuttosto che un’altra, non si può che fare riferimento ad Euclide come a persona reale sebbene non si possa affermare nulla sulla sua vita.

Frontespizio di un'edizione degli Elementi risalente al XVI secolo in cui il matematico alessandrino è confuso con Euclide di Megara
Euclide è citato anche nella Divina Commedia di Dante, Inferno, IV, 142, nel Cerchio Primo del Limbo, tra gli "Spiriti Magni".

Euclide, cui venne attribuito l'epiteto di στοιξειωτης (compositore degli Elementi), formulò la prima rappresentazione organica e completa della geometria nella sua fondamentale opera: gli Elementi, divisa in 13 libri. I primi 4 parlano della planimetria elementare; il 5° ed il 6° delle principali proprietà dei segmenti e dei poligoni relativi alle proporzioni; dal 7° al 10° libro dell'aritmetica dei numeri razionali ed irrazionali; gli ultimi libri della geometria solida.
Ogni libro inizia con un gruppo di proposizioni che possono essere considerate come una specie di definizioni che servono a chiarire i concetti successivi; esse sono seguite da altre proposizioni che sono invece veri e propri problemi o teoremi: questi si differenziano fra di loro per il modo con cui vengono enunciati e per la frase rituale con cui si chiudono: "come dovevasi fare" per i problemi, "come dovevasi dimostrare" per i teoremi.
Questo testo è stato tramandato grazie alla prima ricostruzione che ne fece Teone di Alessandria, circa 700 anni dopo Euclide, e alle traduzioni arabe (ad esempio quelle di Alhazen, ossia Ibn al-Haytham, nato nel 965). Intorno al 1120, una copia del testo arabo (o una copia di una copia) fu tradotta in latino da Adelardo di Bath. Nel 1270, la traduzione di Adelardo fu riveduta, anche alla luce di altre fonti arabe (a loro volta derivate da altre versioni greche del manoscritto di Teone) da Campano di Novara. Questa versione (o una copia di una copia) venne stampata a Venezia nel 1482. Sono passati circa 1800 anni.
Successivamente, sono state ritrovate altre versioni greche del manoscritto di Teone e una copia greca che probabilmente è precedente a quella di Teone. La ricostruzione attuale si basa sulla versione del filologo danese J. L. Heiberg risalente al 1880 e su quella dello storico inglese T. L. Heath del 1908.
La prima edizione italiana è dovuta al matematico italiano Federigo Enriques e risale al 1935. Nel 1970 compare nei tipi della UTET un'altra versione italiana, tradotta da Lamberto Maccioni e commentata da Attilio Fraiese.
Secondo alcune fonti, gli Elementi non è tutta opera del solo Euclide: egli ha raccolto insieme, rielaborandolo e sistemandolo assiomaticamente, lo scibile matematico disponibile nella sua epoca. La sua opera è stata considerata per oltre 20 secoli un testo esemplare per chiarezza e rigore espositivo, e può considerarsi il testo per l'insegnamento della matematica e della precisione argomentativa di maggior successo della storia, ovvero il testo più letto dopo la Bibbia.Molte edizioni antiche contengono altri due libri che la critica più recente attribuisce rispettivamente a Ipsicle (II secolo a.C.) e a Isidoro di Mileto (IV secolo d.C.).

Euclide fu autore di altre opere:
i Dati, strettamente legati ai primi 6 libri degli Elementi
i Porismi, in 3 libri, giunti fino a noi grazie al riassunto che ne fece Pappo
i Luoghi superficiali, andato perduto
le Coniche, andato perduto
l'Ottica
la Catottrica
i Fenomeni, descrizione della sfera celeste
Sezione del Canone, trattato di musica
Introduzione armonica, trattato di musica
Da lui prendono il nome la geometria euclidea e gli spazi euclidei.

Primo teorema di Euclide

In geometria, il primo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al secondo, dalla proposizione 8 del IV libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:
1. mediante l'equivalenza tra figure:
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso.
2. mediante relazioni tra segmenti:
In un triangolo rettangolo, il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la propria proiezione su di essa.
Le due enunciazioni sono equivalenti e mutualmente dimostrantesi.

Secondo teorema di Euclide

In geometria, il secondo teorema di Euclide è un teorema concernente il triangolo rettangolo che deriva, assieme al primo, dalla proposizione 8 del IV libro degli Elementi di Euclide; nei testi scolastici può essere enunciato in due modi diversi a seconda della proprietà che si desidera sottolineare:
1. mediante l'equivalenza tra figure:
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.
2. mediante relazioni tra segmenti:
In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.
Le due enunciazioni sono equivalenti e mutualmente dimostrantesi.

Tratto da: “GRAZIA, Mondadori settimanale n. 51 del 26/12/2007 pag. 14
Anche dall’analisi di una pagina tratta in maniera del tutto casuale da un noto settimanale è facile trovare molteplici richiami alla geometria, senz’altro più di quanti si potrebbe pensare ad una prima occhiata.
Questo però non dovrebbe stupirci, in quanto è evidente come qualsiasi oggetto che ci circonda sia riconducibile ad una forma geometrica ben definita.
Nella pagina in questione ho riscontrato le seguenti geometrie:
2 rettangoli con lato lungo laterale contenenti delle foto
2 rettangoli con lato lungo a destra laterale contenenti una ricetta
1 rettangolo con lato corto laterale contenente un articolo
Le parole scritte in stampatello con due o più lettere ricordano dei rettangoli
Le parole scritte in stampatello di una sola lettera ricordano dei quadrati
Le parole scritte in corsivo ricordano dei parallelogrammi
La pagina è suddivisa in 5 figure geometriche, 4 rettangoli nelle prima parte ed un rettangolo lungo nella parte finale della pagina
Nelle due fotografie appaiono 3 cerchi cioè 2 piatti ed una coppetta,nonché un’ ellisse cioè un’altra coppetta, tutti appoggiati su una superficie piana
La punteggiatura richiama già dalla parola stessa il punto geometrico
Le righe scritte sono tutte incolonnate e ricordano una retta
Si notano anche figure geometriche non regolari che ricordano dei cerchi cioè dei cibi, una goccia cioè una coppetta che ricorda un triangolo isoscele o, se visti in prospettiva, ricordano delle sfere ed una piramide
Se osserviamo le venature del legno della prima foto notiamo come siano delle linee curve
Il fiore che ritroviamo nella prima foto è ricco di simmetrie “naturali” quali la disposizione dei petali e la struttura della corolla
Se divido la pagina nel senso della lunghezza ricaverò uno o più rettangoli allungati
Se divido la pagina dal lato corto ricaverò uno o più rettangoli con il lato lungo come base
Se traccio le diagonali di questa pagina ricaverò 4 triangoli rettangoli a due a due uguali tra di loro
Se piego la pagina seguendo una diagonale ottengo due triangoli rettangoli uguali tra loro
Se traccio sia le diagonali che le bisettrici ottengo 8 triangoli rettangoli uguali a due a due.

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Un settimanale e la geometria...Tratto da: “GRAZIA, Mondadori settimanale n. 51 del 26/12/2007 pag. 14

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